| Nazwa w języku polskim: | Analiza matematyczna 2.1 A |
| Nazwa w języku angielskim: | Mathematical Analysis 2.1 A |
| Kierunek studiów: | Inżynieria Środowiska |
| Specjalność: | |
| Stopień: | I |
| Forma: | niestacjonarna |
| Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowy |
| Kod przedmiotu: | MAS300003C |
|
Wykład |
Ćwiczenia |
Laboratorium |
Projekt |
Seminarium |
|---|---|---|---|---|---|
Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni (ZZU) |
20 | 20 | |||
Liczba godzin całkowitego nakładu pracy studenta (CNPS) |
120 | 90 | |||
Forma zaliczenia |
Egzamin na ocenę | Zaliczenie na ocenę | |||
| Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy (X) | |||||
Liczba punktów ECTS |
4 | 3 | |||
w tym liczba punktów odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) |
3 | ||||
w tym liczba punktów ECTS odpowiadająca zajęciom wymagającym bezpośredniego udziału nauczycieli lub innych osób prowadzących zajęcia (BU) |
0,8 | 0,8 |
| WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I KOMPETENCJI SPOŁECZNYCH | |
|---|---|
| 1 | Ma wiedzę z analizy matematycznej 1 i algebry z geometrią analityczną. |
| CELE PRZEDMIOTU | |
|---|---|
| C1 | Umiejętności analizy zbieżności szeregów liczbowych i funkcyjnych potęgowych, zastosowanie szeregów dla wyliczenia wartości funkcji. |
| C2 | Zapoznanie podstawowych pojęć z rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych oraz zastosowania ich w technice i naukach: fizyce, chemii, termodynamice. |
| C3 | Zapoznanie podstawowych pojęć z metod numerycznych rozwiązywania równań nieliniowych, całkowania funkcji, rozwiązywania równań różniczkowych. |
| C4 | Umiejętności konstrukcji i rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych oraz zapoznanie z równaniami w pochodnych cząstkowych. |
| C5 | Stosowanie nabytej wiedzy do tworzenia i analizy modeli matematycznych w celu rozwiązywania zagadnień teoretycznych i praktycznych w różnych dziedzinach nauki i techniki. |
| PRZEDMIOTOWE EFEKTY UCZENIA SIĘ | |
|---|---|
| Z zakresu wiedzy: | |
| PEU_W01 | ma podstawową wiedzę z szeregów liczbowych i funkcyjnych. |
| PEU_W02 | zna podstawy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych |
| PEU_W03 | ma podstawową wiedzę z teorii równań różniczkowych zwyczajnych i w cząstkowych pochodnych |
| Z zakresu umiejętności: | |
| PEU_U01 | potrafi rozwijać funkcje w szereg potęgowy, umie wykorzystać otrzymane rozwinięcia do obliczeń przybliżonych |
| PEU_U02 | umie obliczać pochodne cząstkowe, kierunkowe, gradient funkcji i różniczki funkcji wielu zmiennych i interpretować otrzymane wielkości, potrafi rozwiązywać zadania optymalizacyjne i inżynierskie dla funkcji wielu zmiennych, potrafi rozwiązać proste równania różniczkowe zwyczajne |
| PEU_U03 | potrafi obliczać i interpretować całkę wielokrotną, potrafi rozwiązywać zagadnienia inżynierskie z wykorzystaniem całki podwójnej i potrójnej |
| Z zakresu kompetencji społecznych: | |
| PEU_K01 | potrafi wyszukiwać i korzystać z literatury zalecanej do kursu oraz samodzielnie zdobywać wiedzę w tym ze źródeł internetowych |
| PEU_K02 | rozumie konieczność systematycznej i samodzielnej pracy nad opanowaniem materiału kursu |
TREŚCI PROGRAMOWE |
||
Forma zajęć - wykład |
Liczba |
|
| Wy1 | Szeregi liczbowe. Pojęcie szeregu liczbowego. Twierdzenia o szeregach liczbowych. Zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych. Kryteria zbieżności Cauchy | 1 |
| Wy2 | Szeregi funkcyjne. Szeregi funkcyjne. Pojęcie zbieżności jednostajnej. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Szeregi Taylora i Maclaurina. Zastosowanie szeregów do wyliczenia wartości funkcji i całkowania. | 2 |
| Wy3 | Funkcję wielu zmiennych. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych. Przestrzeń n-wymiarowa. Obszar otwarty i obszar domknięty. Zależność funkcyjna między zmiennymi. Funkcje n zmiennych. Funkcje dwóch i trzech zmiennych i obszary zmienności ich argumentów. Granica funkcji wielu zmiennych. Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe i różniczki cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Różniczka zupełna. Pochodne funkcji złożonych. Funkcje uwikłane. Obliczanie pochodnych funkcji uwikłanych. Zastosowanie różniczki zupełnej do rachunków przybliżonych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenia o pochodnych mieszanych. Wzór Taylora. | 2 |
| Wy4 | Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne. Warunki dostateczne. Warunki nieistnienia ekstremów. Największe i najmniejsze wartości funkcji w obszarze. Ekstrema warunkowe. Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego. Metoda czynników nieoznaczonych Lagrange?a. Pojęcie o metodzie najmniejszych kwadratów (MNK). | 3 |
| Wy5 | Podstawy metod numerycznych. Interpolacja i ekstrapolacja. Wzór Lagrange | 1 |
| Wy6 | Całki podwójne. Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Interpretacja geometryczna i fizyczna. Obliczanie całek podwójnych po obszarach normalnych. Zamiana całek podwójnych na iterowane. Własności całek podwójnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Całka podwójna we współrzędnych biegunowych. Całki podwójne niewłaściwe. Przykłady całek podwójnych w geometrii i fizyce. | 3 |
| Wy7 | Całki potrójne i wielokrotne. Całki potrójne. Własności całek potrójnych. Zamiana całek potrójnych na iterowane. Zamiana zmiennych na współrzędne walcowe i sferyczne. Zastosowania całek podwójnych i potrójnych w geometrii, fizyce i technice. | 1 |
| Wy8 | Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Definicja całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju. Sprowadzanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju do zwykłej całki oznaczonej. Całki krzywoliniowe drugiego rodzaju. Całka po krzywej zamkniętej. Orientacja krzywej. Warunki niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Wzór Greena. Zastosowanie całek krzywoliniowych. Powierzchnia. Orientacja powierzchni. Pole powierzchni krzywoliniowej. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju. Wyrażenie objętości bryły przez całkę powierzchniową. Wzór Stokesa. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Elementy analizy wektorowej. Elementy analizy wektorowej. Pola skalarne i wektorowe. Strumień wektora przez powierzchnie. Dywergencja. Cyrkulacja wektora. Rotacja. Pola potencjalne i bezźródłowe. Przykłady. | 2 |
| Wy9 | Równania różniczkowe z jednej zmiennej. Podstawowe pojęcia i przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych. Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Równanie różniczkowe jednorodne. Równanie Bernoulliego. Równanie różniczkowe zupełne. Czynnik całkujący. Obwiednia rodziny krzywych. Ortogonalne i izogonalne trajektorii. Równania różniczkowe drugiego stopnia. Układy równań różniczkowych. Metody numeryczne rozwiązania równań różniczkowych. Pojęcie o szeregach Fouriera. Podstawy rachunku operatorowego. Wielkości okresowe i analiza harmoniczna. Ortogonalne układy funkcji. Określanie współczynników metodą Eulera-Fouriera. Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera. Rozwinięcia w szeregi cosinusów i w szeregi sinusów. Podstawy rachunku operatorowego. | 3 |
| Wy10 | Podstawy równań różniczkowych cząstkowych. Równania różniczkowe cząstkowe. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych: równanie struny, równanie membrany, równanie przewodnictwa ciepła. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Klasyfikacja równań różniczkowych drugiego rzędu liniowych względem drugich pochodnych. Metody d | 2 | Suma godzin | 20 |
TREŚCI PROGRAMOWE |
||
Forma zajęć - ćwiczenia |
Liczba |
|
| Cw1 | Szeregi liczbowe. Pojęcie szeregu liczbowego. Twierdzenia o szeregach liczbowych. Zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych. Kryteria zbieżności Cauchy | 2 |
| Cw2 | Funkcję wielu zmiennych. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych. Przestrzeń n-wymiarowa. Obszar otwarty i obszar domknięty. Zależność funkcyjna między zmiennymi. Funkcje n zmiennych. Funkcje dwóch i trzech zmiennych i obszary zmienności ich argumentów. Granica funkcji wielu zmiennych. Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe i różniczki cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Różniczka zupełna. Pochodne funkcji złożonych. Funkcje uwikłane. Obliczanie pochodnych funkcji uwikłanych. Zastosowanie różniczki zupełnej do rachunków przybliżonych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenia o pochodnych mieszanych. Wzór Taylora. | 3 |
| Cw3 | Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne. Warunki dostateczne. Warunki nieistnienia ekstremów. Największe i najmniejsze wartości funkcji w obszarze. Ekstrema warunkowe. Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego. Metoda czynników nieoznaczonych Lagrange?a. Pojęcie o metodzie najmniejszych kwadratów (MNK). | 3 |
| Cw4 | Podstawy metod numerycznych. Interpolacja i ekstrapolacja. Wzór Lagrange | 1 |
| Cw5 | Całki podwójne. Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Interpretacja geometryczna i fizyczna. Obliczanie całek podwójnych po obszarach normalnych. Zamiana całek podwójnych na iterowane. Własności całek podwójnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Całka podwójna we współrzędnych biegunowych. Całki podwójne niewłaściwe. Przykłady całek podwójnych w geometrii i fizyce. | 3 |
| Cw6 | Całki potrójne i wielokrotne. Całki potrójne. Własności całek potrójnych. Zamiana całek potrójnych na iterowane. Zamiana zmiennych na współrzędne walcowe i sferyczne. Zastosowania całek podwójnych i potrójnych w geometrii, fizyce i technice. | 1 |
| Cw7 | Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Definicja całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju. Sprowadzanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju do zwykłej całki oznaczonej. Całki krzywoliniowe drugiego rodzaju. Całka po krzywej zamkniętej. Orientacja krzywej. Warunki niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Wzór Greena. Zastosowanie całek krzywoliniowych. Powierzchnia. Orientacja powierzchni. Pole powierzchni krzywoliniowej. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju. Wyrażenie objętości bryły przez całkę powierzchniową. Wzór Stokesa. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Elementy analizy wektorowej. Elementy analizy wektorowej. Pola skalarne i wektorowe. Strumień wektora przez powierzchnie. Dywergencja. Cyrkulacja wektora. Rotacja. Pola potencjalne i bezźródłowe. Przykłady. | 2 |
| Cw8 | Równania różniczkowe z jednej zmiennej. Podstawowe pojęcia i przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych. Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Równanie różniczkowe jednorodne. Równanie Bernoulliego. Równanie różniczkowe zupełne. Czynnik całkujący. Obwiednia rodziny krzywych. Ortogonalne i izogonalne trajektorii. Równania różniczkowe drugiego stopnia. Układy równań różniczkowych. Metody numeryczne rozwiązania równań różniczkowych. | 2 |
| Cw9 | Pojęcie o szeregach Fouriera. Podstawy rachunku operatorowego. Wielkości okresowe i analiza harmoniczna. Ortogonalne układy funkcji. Określanie współczynników metodą Eulera-Fouriera. Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera. Rozwinięcia w szeregi cosinusów i w szeregi sinusów. Podstawy rachunku operatorowego. | 2 |
| Cw10 | Podstawy równań różniczkowych cząstkowych. Równania różniczkowe cząstkowe. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych: równanie struny, równanie membrany, równanie przewodnictwa ciepła. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Klasyfikacja równań różniczkowych drugiego rzędu liniowych względem drugich pochodnych. Metody d?Alemberta i Fouriera a równanie przewodnictwa ciepła. Podstawy metod numerycznych dla równań różniczkowych cząstkowych: metoda różnic skończonych. | 1 |
| Suma godzin | 20 | |
| STOSOWANE NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE | |
|---|---|
| N1 | Wykład; metoda tradycyjna z wykorzystaniem multimedia. |
| N2 | Ćwiczenia problemowe i rachunkowe z wykorzystaniem oprogramowania matematycznego. |
| N3 | Konsultacje. |
| N4 | Praca własna studenta; przygotowanie do ćwiczeń. |
OCENA OSIĄGNIĘCIA PRZEDMIOTOWYCH EFEKTÓW UCZENIA SIĘ
| Oceny (F – formująca (w trakcie semestru), P – podsumowująca (na koniec semestru) | Numer efektu uczenia się | Sposób oceny osiągnięcia efektu uczenia się | |
|---|---|---|---|
| 1 | F1 | PEU_U01-PEU_U03, PEU_K01, PEU_K02 | Kolokwium 1 |
| 2 | F2 | PEU_U01-PEU_U03, PEU_K01, PEU_K02 | Kolokwium 2 |
| 3 | F3 | PEU_U01-PEU_U03, PEU_K01, PEU_K02 | Odpowiedzi ustne, aktywność i obecność na ćwiczeniach i wykładach |
| 4 | P2 | PEU_W01-PEU_W03, PEU_K01, PEU_K02 | Egzamin |
| P1=(0,45*F1+0,45*F2+0,10*F3) | |||
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
| Literatura podstawowa | |
|---|---|
| Literatura podstawowa: | G. Decewicz, W. Żakowski, Matematyka, Cz. 1,2 WNT, Warszawa 2007. |
| Literatura podstawowa: | M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1,2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2011. |
| Literatura podstawowa: | W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, Cz. I,II, PWN, Warszawa 2006. |
| Literatura podstawowa: | W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Cz. A,B, PWN, Warszawa 2003. |
| Literatura podstawowa: | G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1,2,3, PWN, Warszawa, 2009. |
| Literatura uzupełniająca | |
| Literatura uzupełniająca: | M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1,2. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2011. |
| Literatura uzupełniająca: | R. Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych, Cz. 1-2 WNT, Warszawa 2006. |
| Literatura uzupełniająca: | F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, PWN, Warszawa 2008. |
| Literatura uzupełniająca: | H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, T. I, cz. 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1993. |
| Literatura uzupełniająca: | W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Cz. A,B, PWN, Warszawa 2003. |
| Literatura uzupełniająca: | J. Pietraszko, Matematyka. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2000. |
OPIEKUN PRZEDMIOTU
| Imię i nazwisko: | Michał Karpuk |
| E-mail: | michal.karpuk@pwr.edu.pl |
MACIERZ
| L.p. | Przedmiotowy efekt uczenia się | Odniesienie przedmiotowego efektu do efektów uczenia się zdefiniowanych dla kierunku studiów | Cele przedmiotu*** | Treści programowe*** | Numer narzędzia dydaktycznego*** |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | PEU_W01 | K1IS_W01, K1IS_W13 | C1 - C5 | Wy1, Wy2, Wy3 | N1,N3,N4 |
| 2 | PEU_W02 | K1IS_W01, K1IS_W13 | C1 - C5 | Wy4, Wy5, Wy6, Wy7 | N1,N3,N4 |
| 3 | PEU_W03 | K1IS_W01, K1IS_W13 | C1 - C5 | Wy8, Wy9, Wy10 | N1,N3,N4 |
| 4 | PEU_U01 | K1IS_U01, K1IS_U03, K1IS_U04, K1IS_U05 | C1 - C5 | Cw1, Cw2, Cw3 | N2,N3,N4 |
| 5 | PEU_U02 | K1IS_U01, K1IS_U03, K1IS_U04, K1IS_U05 | C1 - C5 | Cw4, Cw5, Cw6, Cw7 | N2,N3,N4 |
| 6 | PEU_U03 | K1IS_U01, K1IS_U03, K1IS_U04, K1IS_U05 | C1 - C5 | Cw8, Cw9, Cw10 | N2,N3,N4 |
| 7 | PEU_K01 | K1IS_K01, K1IS_K03 | C1 - C5 | Wy1 - Wy10, Cw1 - Cw10 | N1,N2,N3,N4 |
| 8 | PEU_K02 | K1IS_K01, K1IS_K03 | C1 - C5 | Wy1 - Wy10, Cw1 - Cw10 | N1,N2,N3,N4 |